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Eine Hopf-Algebra – benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf – H {\displaystyle H} über einem Körper K {\displaystyle \mathbb {K} } ist eine Bialgebra ( H , ∇ ∇ , η η , Δ Δ , ϵ ϵ ) {\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon )} mit einer K {\displaystyle \mathbb {K} } -linearen Abbildung, der sog. „Antipode“, S : : H → → H {\displaystyle S\colon H\to H} , so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Formal in der Sweedler-Notation – benannt nach Moss Sweedler – geschrieben heißt das: S ( c ( 1 ) ) c ( 2 ) = c ( 1 ) S ( c ( 2 ) ) = ϵ ϵ ( c ) 1. {\displaystyle S\left(c_{\left(1\right)}\right)c_{\left(2\right)}=c_{\left(1\right)}S\left(c_{\left(2\right)}\right)=\epsilon \left(c\right)1.}

• Faltung und Antipode

• Beispiele

• Gruppenalgebra

• Universelle einhüllende Algebra

• Gruppenartige und primitive Elemente

• Literatur

Sei A {\displaystyle A} eine Algebra und C {\displaystyle C} eine Koalgebra. Die K {\displaystyle \mathbb {K} } -linearen Abbildungen von C {\displaystyle C} nach A {\displaystyle A} bilden eine Algebra mit Produkt ∗ ∗ {\displaystyle *} , genannt Faltung, definiert durch

( f ∗ ∗ g ) ( x ) := f ( x ( 1 ) ) g ( x ( 2 ) ) {\displaystyle (f*g)(x):=f(x_{(1)})g(x_{(2)})} .

Das neutrale Element in dieser Algebra ist η η ∘ ∘ ϵ ϵ {\displaystyle \eta \circ \epsilon } , denn

( f ∗ ∗ ( η η ∘ ∘ ϵ ϵ ) ) ( x ) = f ( x ( 1 ) ) η η ( ϵ ϵ ( x ( 2 ) ) ) = f ( x ( 1 ) ϵ ϵ ( x ( 2 ) ) ) η η ( 1 ) = f ( x ) {\displaystyle (f*(\eta \circ \epsilon ))(x)=f(x_{(1)})\eta (\epsilon (x_{(2)}))=f(x_{(1)}\epsilon (x_{(2)}))\eta (1)=f(x)}

und entsprechend auch

( ( η η ∘ ∘ ϵ ϵ ) ∗ ∗ f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle ((\eta \circ \epsilon )*f)(x)=f(x)} .

Für eine Bialgebra H {\displaystyle H} bilden die K {\displaystyle \mathbb {K} } -linearen Abbildungen von H {\displaystyle H} nach H {\displaystyle H} auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode S {\displaystyle S} ist das zur identischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra. Das heißt

S ∗ ∗ i d = η η ∘ ∘ ϵ ϵ = i d ∗ ∗ S {\displaystyle S*\mathrm {id} =\eta \circ \epsilon =\mathrm {id} *S} .

Es lässt sich zeigen, dass die Antipode einer Hopf-Algebra stets eindeutig ist, und gleichzeitig ein Antialgebrahomomorphismus und ein Anticoalgebrahomomorphismus ist. Mithilfe dieser Tatsache lässt sich der Wert der Antipode auf jedem Element der Hopf-Algebra ausrechnen, wenn die Werte der Antipode auf einem Algebraerzeugendensystem bekannt sind.

Ein Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die Gruppenalgebra K G {\displaystyle \mathbb {K} G} . Sie wird durch

Δ Δ ( g ) := g ⊗ ⊗ g {\displaystyle \Delta (g):=g\otimes g} für g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G}

und

ϵ ϵ ( g ) := 1 {\displaystyle \epsilon (g):=1} für g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G}

zu einer Bialgebra, die Antipode

S ( g ) := g − − 1 {\displaystyle S(g):=g^{-1}} für g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G}

macht sie zu einer Hopf-Algebra.

Die universelle einhüllende Algebra U ( g ) {\displaystyle \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})} einer Lie-Algebra g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ist auf natürliche Weise eine Hopfalgebra. Für ein Element x ∈ ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} ist das Koprodukt durch

Δ Δ ( x ) := 1 ⊗ ⊗ x + x ⊗ ⊗ 1 {\displaystyle \Delta (x):=1\otimes x+x\otimes 1}

und die Koeins durch

ϵ ϵ ( x ) := 0 {\displaystyle \epsilon (x):=0}

definiert.

S ( x ) := − − x {\displaystyle S(x):=-x}

definiert die Antipode.

Ein Element g {\displaystyle g} einer Hopfalgebra heißt „gruppenartig“, wenn Δ Δ ( g ) = g ⊗ ⊗ g {\displaystyle \Delta (g)=g\otimes g} und ϵ ϵ ( g ) = 1 {\displaystyle \epsilon (g)=1} . Für die Antipode gilt dann S ( g ) = g − − 1 {\displaystyle S(g)=g^{-1}} .

Ein Element x {\displaystyle x} heißt „primitiv“, wenn Δ Δ ( x ) = 1 ⊗ ⊗ x + x ⊗ ⊗ 1 {\displaystyle \Delta (x)=1\otimes x+x\otimes 1} . Daraus folgt, dass ϵ ϵ ( x ) = 0 {\displaystyle \epsilon (x)=0} und S ( x ) = − − x {\displaystyle S(x)=-x} .

Ein Element x {\displaystyle x} heißt „schiefprimitiv“, wenn Δ Δ ( x ) = g ⊗ ⊗ x + x ⊗ ⊗ h {\displaystyle \Delta (x)=g\otimes x+x\otimes h} mit gruppenähnlichen Elementen g {\displaystyle g} und h {\displaystyle h} . Daraus folgt, dass ϵ ϵ ( x ) = 0 {\displaystyle \epsilon (x)=0} und S ( x ) = − − g − − 1 x h − − 1 {\displaystyle S(x)=-g^{-1}xh^{-1}} .

• Christian Kassel: Quantum Groups (= Graduate Texts in Mathematics. 155). Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 0-387-94370-6.

• Moss E. Sweedler: Hopf algebras. Benjamin, New York NY 1969.